진폭·주파수·위상 차이: 사인파·dB·시간 지연으로 이해하기

진폭·주파수·위상 차이는 사인파 식 하나로 구분할 수 있다. x(t) = A cos(2πft + φ)에서 A는 크기, f는 1초 동안 반복하는 횟수, φ는 기준에 대한 각도 위치다. 셋은 서로 영향을 줄 수 있지만 같은 물리량은 아니다.

사인파 식에서 각각 무엇을 뜻하나

요소	기호	의미	단위 예시
진폭	A	기준값에서 얼마나 크게 변하는가	V, A, Pa 등 측정량의 단위
주파수	f	1초에 몇 cycle을 반복하는가	Hz
위상	φ	같은 주파수의 기준 신호보다 얼마나 앞서거나 뒤지는가	rad, degree
주기	T	한 cycle에 걸리는 시간	s

주파수와 주기는 f = 1/T 관계다. 각주파수 ω를 사용하면 ω = 2πf이고 식은 x(t) = A cos(ωt + φ)로 쓸 수 있다. MIT Signals and Systems 자료도 generic sinusoid를 amplitude, radian frequency, phase로 나눠 설명한다.

진폭은 단순히 그래프의 높이인가

사인파가 0을 중심으로 움직일 때 peak amplitude는 중심에서 꼭대기까지의 크기다. 하지만 실제 측정에서는 어떤 진폭을 말하는지 기준을 적어야 한다.

• peak: 기준선에서 최대값까지의 크기
• peak-to-peak: 최소값에서 최대값까지의 차이
• RMS: 시간에 따른 제곱 평균의 제곱근

x(t) = A cos(2πft + φ)인 순수 사인파에서 peak는 A, peak-to-peak는 2A, RMS는 A/√2다. DC offset이 있거나 파형이 사인파가 아니면 이 관계를 그대로 적용할 수 없다.

진폭이 크면 항상 에너지가 같은 비율로 커진다고도 말할 수 없다. 예를 들어 동일한 저항에서 sinusoidal voltage의 평균 power는 RMS voltage의 제곱에 비례한다. 에너지는 power를 시간에 대해 누적한 값이므로 signal duration과 load까지 알아야 한다.

주파수는 모든 신호에 하나만 있는가

순수 사인파는 하나의 주파수를 갖는다. 그러나 음성, network pulse, square wave처럼 일반적인 신호는 여러 주파수 성분이 합쳐진 형태다. 이때 “신호의 주파수” 하나만 말하기보다 spectrum, bandwidth, fundamental, harmonic을 구분해야 한다.

소리에서도 주파수 하나가 곧 음색 전체를 정하지 않는다. periodic sound의 fundamental frequency는 pitch 인식과 강하게 연결되지만 harmonic의 분포와 시간 envelope가 timbre에 영향을 준다. 통신에서는 사용한 frequency band와 bandwidth가 channel 선택, antenna, noise, achievable data rate를 함께 제한한다.

위상은 왜 기준 신호가 필요하나

위상은 혼자 있는 absolute label보다 같은 주파수의 기준과 비교할 때 의미가 선명하다.

x1(t) = A cos(2πft)
x2(t) = A cos(2πft + π/2)

두 신호는 진폭과 주파수가 같지만 x2가 x1보다 π/2, 즉 90°만큼 phase-shift되어 있다. 위상차가 0이면 같은 시점에 peak를 만들고, π면 한쪽이 peak일 때 다른 쪽은 반대 방향 peak가 된다. 여러 신호를 더할 때 위상차에 따라 보강되거나 상쇄될 수 있다.

phase를 단순히 “신호가 시작하는 위치”라고만 외우면 time delay와의 관계를 놓치기 쉽다.

x(t - τ) = A cos(2πft + φ - 2πfτ)

같은 delay τ라도 phase shift는 -2πfτ이므로 주파수에 따라 달라진다. broadband signal은 여러 주파수 성분을 갖기 때문에 모든 성분의 phase가 같은 각도만큼 이동한다고 단정할 수 없다.

dB는 진폭의 단위인가

decibel은 raw amplitude 자체가 아니라 비율을 logarithmic scale로 표현한 값이다. 따라서 기준값이나 비교 대상을 함께 적어야 한다.

power ratio는 다음처럼 계산한다.

L = 10 log10(P2 / P1) dB

같은 impedance에서 power가 amplitude의 제곱에 비례한다면 voltage나 pressure 같은 amplitude ratio에는 다음 식을 사용할 수 있다.

L = 20 log10(A2 / A1) dB

amplitude가 2배이면 약 +6.02 dB, power가 2배이면 약 +3.01 dB다. 전제 없이 20 log10을 모든 값에 쓰면 안 된다. dBm은 1 mW, dBV는 1 V처럼 reference가 포함된 별도 표기다. NIST SI Guide는 dB를 power ratio와 field amplitude ratio에 대한 logarithmic quantity로 구분한다.

통신에서는 셋을 어떻게 사용하나

carrier의 한 속성을 information signal에 따라 바꾸면 modulation이 된다.

• AM: carrier amplitude를 변화시킨다.
• FM: instantaneous frequency를 변화시킨다.
• PM: instantaneous phase를 변화시킨다.

실제 digital modulation은 amplitude와 phase를 함께 바꾸는 QAM처럼 여러 축을 조합하기도 한다. 이름만 보고 “AM은 주파수와 위상이 절대 변하지 않는다”처럼 ideal model을 실제 channel 전체의 성질로 확대하면 안 된다. oscillator error, filtering, noise, multipath는 수신 signal의 amplitude와 phase 모두에 영향을 줄 수 있다.

modulation 전에 기준이 되는 신호는 반송파의 역할, propagation delay와 throughput을 혼동하지 않는 방법은 network delay·loss·throughput에서 이어서 볼 수 있다.

파형을 볼 때 확인할 순서

1. 측정량과 기준선, 단위를 확인한다.
2. amplitude가 peak, peak-to-peak, RMS 중 무엇인지 확인한다.
3. periodic signal인지, 여러 frequency 성분을 가진 spectrum인지 확인한다.
4. phase를 비교할 reference signal과 frequency를 적는다.
5. time delay를 phase로 바꿀 때 -2πfτ를 적용한다.
6. dB라면 power ratio인지 amplitude ratio인지와 reference impedance를 확인한다.

정리

진폭은 signal의 크기, 주파수는 반복 속도, 위상은 같은 주파수의 기준에 대한 각도 차이다. 일반 신호는 여러 주파수 성분을 가지며, 같은 time delay도 주파수별 phase shift가 다르다. dB는 진폭 그 자체가 아니라 조건이 붙은 logarithmic ratio이므로 peak·RMS·power·reference를 함께 명시해야 한다.

참고 자료

• MIT 6.071J: Signals and Systems
• MIT RES.6-007: Signals and Systems, Lecture 2
• NIST SP 811: Guide for the Use of the International System of Units